1. Vectores

1.10. Producto diádico

Es posible definir un tercer producto que tiene carácter tensorial. Este producto diádico (o tensorial) puede representarse en coordenadas cartesianas por una matriz 3×3 cuyos elementos son los productos de las respectivas componentes.

\begin{equation} \begin{pmatrix} A_{x}B_{x} & A_{x}B_{y} & A_{x}B_{z}\\ A_{y}B_{x} & A_{y}B_{y} & A_{y}B_{z}\\ A_{z}B_{x} & A_{z}B_{y} & A_{z}B_{z}\\ \end{pmatrix} \end{equation}


El producto diádico se indica sin punto,  { \vec{A}}{ \vec{B}} . También se representa con el símbolo de producto tensorial como  \vec{A} \otimes \vec{B} . 

Esta matrix de 3x3 se le conoce como tensor de segundo orden y puede obtenerse a partir de un vector fila  y un vector columna.

\begin{equation}( \vec{A} \vec{B} ) = \begin{pmatrix} A_{x} & A_{y} & A_{z} \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} B_{x} \\ B_{y} \\ B_{z} \end{pmatrix}\end{equation} 


Propiedades del producto diádico

Linealidad

El producto diádico, así definido, es lineal respecto a los dos vectores que lo forman, esto es:

                                     \vec{A} ( \lambda \vec{B} +μ \vec{C} ) = ( \lambda\vec{A} \vec{B} +μ\vec{A} \vec{C} )

\vec{A} ( \lambda \vec{B} +μ \vec{C} ) = ( \lambda\vec{A} \vec{B} +μ\vec{A} \vec{C} )



Esta propiedad no es exclusiva de este producto. También el producto escalar y el vectorial la satisfacen.

Simetría o antisimetría

A diferencia del producto escalar, que es conmutativo, y del vectorial, que es anticonmutativo, el producto diádico no será.

\vec{A} \vec{B} \neq \vec{B} \vec{A}