1. Vectores

1.9. Producto cruz entre vectores

El producto cruz es otra de la operaciones vectoriales básicas que se lleva a cabo entre vectores. El producto cruz da como resultado un nuevo vector que es perpendicular al plano en el que se encuentran los vectores involucrados en la operación. Por ejemplo  \vec{a} x \vec{b} da como resultado el vector \vec{c} , ver figura.


La magnitud del vector \vec{c} se obtiene haciendo la siguiente operación:

 

\vec{c} =|\vec{a}| |\vec{b}| sen(\beta ) 


La dirección y sentido del vector \vec{c} deberá obtenerse con la regla de la mano derecha


Regla de la mano derecha


Para llevar a cabo la regla de la mano derecha tenemos que utilizar el dedo indice, el dedo medio y el dedo pulgar. Gire su mano derecha de tal manera que el dedo índice esté alineado  y apuntando en el sentido del primer vector, en este caso vector a, el dedo medio debe apuntar en la dirección del vector b, finalmente el dedo pulgar apuntará en la dirección del vector resultante.


El producto vectorial también se representa de forma compacta por medio de un determinante que para el caso de dimensión 3×3 es : 

c=axb= \left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_x & a_y & \ a_z \\ b_x & b_y & b_z\end{matrix} \right| =[ (a_y b_z)- (a_z b_y) ] \hat{i}- [ (a_x b_z)- (a_z b_x) ] \hat{j}+ [ (a_x b_y)- (a_y b_x) ] \hat{k} 


Ejemplo


Si las componentes del vector \vec{a}  son (3\hat{i}, -2\hat{j}, 1\hat{k}) y las  del vector \vec{b}  son (5\hat{i}, -4\hat{j}, 3\hat{k}) de termine,  \vec{a} x \vec{b}.


\vec{c} = \vec{a}x \vec{b} = \left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -2 & 1\\ 5 & -4 & 3\end{matrix} \right| =[ (-2)(3)- (1)(-4)] \hat{i}- [ (3)(3)- (1) (5) ] \hat{j}+ [ (3) (-4)- (-2)(5) ] \hat{k} 


Entonces las componentes del nuevo vector que resulta de  \vec{a}x \vec{b} es:

\vec{c} =-2\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}