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El producto punto es otra de las operaciones que se realiza entre vectores y da como resultado una cantidad escalar, se representa mediante un punto entre los vectores involucrados, $\vec{a} \bullet \vec{b}$. Su interpretación gráfica es la proyección que tiene un vector sobre otro.

 

Existen dos formas de obtener ese valor escalar de la proyección entre vectores. Una de ellas se realiza facilmente si se conocen las magnitudes de los vectores involucrados y el ángulo que existe entre ellos, en la figura superior este ángulo esta representado como $\beta$.
 
|$\vec{a}$ $\bullet$ $\vec{b}$| =|$\vec{a}$ || $\vec{b}$| cos($\beta)$ 

También se puede obtener el valor del producto punto entre los vectores si se conocen las componentes de cada vector, la manera de proceder es multiplicar componente a componente y sumar el resultado de esos productos.

$\vec{a}$ $\bullet$ $\vec{b}$ =$a_x$ $b_x$+$a_y$$b_y$+$a_z$$b_z$.

Ejemplo:

Si las componentes del vector $\vec{a}$  son (5$\hat{i}$, -4$\hat{j}$, 1$\hat{k}$) y las  del vector $\vec{b}$  son (-1$\hat{i}$, 3$\hat{j}$, 4$\hat{k}$) de termine, $\vec{a}$ $\bullet$ $\vec{b}$.

|$\vec{a}$ $\bullet$ $\vec{b}$| = |(5)(-1)+(-4)(3)+(1)(4)|=|-13|=13

Propiedades de producto punto

Comutativa 

$\vec{a}$$\bullet$$\vec{b}$=$\vec{b}$$\bullet$$\vec{a}$

Asociativa 

k(($\vec{a}$$\bullet$$\vec{b}$)=($k\vec{a}$)$\bullet$$\vec{b}$

donde k es una cantidad escalar.

Distributiva

$\vec{c}$$\bullet$($\vec{a}$+$\vec{b}$)=$\vec{c}$$\bullet$$\vec{a}$+$\vec{c}$$\bullet$$\vec{b}$