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Un vector en tres dimensiones está inmerso en un plano que se encuentra desplazado a lo largo uno de los ejes coordenados, ver figura. Este vector tendrá entonces 3 componentes sobre los ejes x, y, z.

Para determinar las componentes del vector haremos uso de dos triángulos rectángulos, el primero se encuentra inmerso en el plano que se ha desplazado α grados a lo largo del eje z, ver figura inferior. En este primer triángulo rectngulo la magnitud del vector es la hipotenusa, que tiene un ángulo de inclinación β con respecto al eje y. El cateto adyacente a este ángulo es la componente $y$ del vector, mientras que el cateto opuesto a este ángulo, identificado aquí como $m$, es la proyección del vector pero sobre el plano $xz$. Esta proyección es ahora la hipotenusa del segundo triágulo rectángulo que se encuentra sobre el plano $xz$, los catetos de este segundo triángulo son las componentes $x$ y $z$ del vector. 

Entonces, para el primer triángulo rectángulo:

$b_y= \left| \begin{matrix} \vec{b} \end{matrix} \right| cos( \beta)$

$m= \left| \begin{matrix} \vec{b} \end{matrix} \right| sen( \beta)$

Del segundo triángulo:

Componente $x$ del vector

$b_x=mcos( \alpha) = \left| \begin{matrix} \vec{b} \end{matrix} \right| sen( \beta )cos( \alpha)$

Componente $z$ del vector

$b_z= msen( \alpha )=\left|  \begin{matrix} \vec{b} \end{matrix} \right| sen(\beta )sen(\alpha )$

Ejemplo:

Determine las componentes del vector fuerza que se muestra en la figura.

$F_y= \left| \begin{matrix} 40 \end{matrix} \right| cos( 30°) = 34.64 N$

$F_x=\left| \begin{matrix} 40 \end{matrix} \right| sen( 30° )cos( 50° ) = 12.86 N$

$F_z=\left| \begin{matrix} 40 \end{matrix} \right| sen( 30° )sen( 50° ) = 15.32 N$