1. Vectores

1.5. Determinación de la magnitud de un vector y sus componentes en dos dimensiones

Determinación de la magnitud de un vector

Si se conocen los valores de las componentes de un vector es muy sencillo determinar su magnitud. Como ejemplo tomaremos un vector, \vec{a} cuyas componentes son a_x=-3 y a_y=5. Para mostrar como determinar la magnitud del vector, primero se representará el vector en el plano cartesiano. Si trazamos líneas paralelas a los ejes de coordenadas (líneas punteadas color verde), el vector queda encerrado en un paralelo gramo, en este paralelogramo se puede observar un triángulo rectángulo formado por las componentes del vector (-3,5) que son los catetos del triángulo y por la magnitud del vector que es la hipotenusa. 



Entonces, se puede utilizar el teorema de Pitágoras para determinar la magnitud.


\left| \begin{matrix} \vec{a} \end{matrix} \right|= \sqrt[2]{(a_x)^2+(a_y)^2}=\sqrt[2]{(-3)^2+(5)^2} =5.83


Determinación de las componentes de un vector


Si lo que se conoce es la magnitud del vector y su dirección (ángulo de inclinación con respecto a alguno de los ejes) entonces es posible determinar de manera numérica, a través de estos datos, las componentes del vector. Como se menciona en las sección anterior la magnitud del vector y las componentes de este forman un triángulo rectángulo en la que las componentes son los catetos y la magnitud la hipotenusa del triángulo. Por lo que, utilizando las funciones trigonométricas seno y coseno, que relacionan los catetos y la hipotenusa del triángulo, podemos despejar los catetos, es decir, las componentes del vector. 


 

En el gráfica superior vemos que a_x es el cateto adyacente al ángulo β, por lo que usando la función cos(β), que es igual al cateto adyasente entre la hipotenusa, y despejando a_x se obtiene la componente del vector sobre el eje "x". 

cos( \beta)= \frac{a_x}{\left| \begin{matrix} \vec{a} \end{matrix} \right| }


a_x=- \left| \begin{matrix} \vec{a} \end{matrix} \right|cos(\beta)


De igual manera obtiene la componente a_y del vector, pero ahora usando la función seno\beta que relaciona al catero opuesto entre la hipotenusa.


sen( \beta)= \frac{a_y}{\left| \begin{matrix} \vec{a} \end{matrix} \right| }


a_y= \left| \begin{matrix} \vec{a} \end{matrix} \right|sen(\beta).


El signo menos que aparece en lal componente "x" del vector \vec{a} se intoduce a la ecuación ya que, como muestra la figura, el vector esta situado en el segundo cuadrante del plano cartesiano, entonces la proyección del vector esta sobre los valores negativos del eje "x" y sobre los valores positivos del eje "y". Otra manera de obtener de forma directa el signo de las componentes es utilizar como argumento de las funciones coseno y seno el ángulo suplementario del ángulo \beta, es decir, 180-\beta.



Ejemplo:


Determine las componentes del vector fuerza que se muestra en la siguiente figura.





F_x= \left| \begin{matrix} 6 \end{matrix} \right|cos(28°)=5.3 N


F_y=- \left| \begin{matrix} 6 \end{matrix} \right|sen(28°)=-2.83 N